Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть с

Особенности уровней ЕГЭ по математике

В 2015 году ЕГЭ по математике разделили на базовый и профильный уровни. Это упростило жизнь выпускникам, которые не планируют поступать на специальности, связанные с математикой. Если ЕГЭ по математике нужен только для получения аттестата, можно сдать его облегченную версию, оставив время и силы для профильных экзаменов.

Базовый уровень ЕГЭ по математике

Как устроен базовый ЕГЭ по математике? Экзамен идет 180 минут, он состоит из 21 задания, за каждое из которых можно получить 1 балл. Этот экзамен единственный, который переводится не в 100-бальную систему, а в оценки.

Пока перевод баллов ЕГЭ по математике базового уровня в оценки не опубликован ФИПИ, но мы добавим его в статью, как только появится официальная информация.

В ЕГЭ по математике базового уровня 6 тематических блоков:

Тематические блоки, ЕГЭ по математике 2022, базовый уровень

Подробнее про базовый ЕГЭ по математике, включая разбор всех заданий, читайте здесь, а мы перейдём к профильному.

Профильный уровень ЕГЭ по математике

Данный экзамен, как и остальные ЕГЭ, переводится в 100-бальную систему.

Пока перевод баллов ЕГЭ по математике профильного уровня в 100-бальную систему пока не опубликован ФИПИ. Мы добавим его в статью, как только появится официальная информация.

Экзамен состоит из двух частей: Часть 1 с кратким ответом, а Часть 2 — с развернутым. Длится он 235 минут. Всего есть 18 заданий, которые разделены на 3 блока: алгебра, геометрия и реальная математика. Максимальное количество первичных баллов — 31.

База, профиль — неважно, к какому именно уровню вы готовитесь. В любом случае надо не только правильно решить каждое задание, но и оформить его так, чтобы проверяющие ни к чему не придрались

Нарисовать и описать график, расписать решение уравнения или задачи… И это не все: нужно еще и внести ответы в бланк без ошибок. И все это — за ограниченный период времени! Так можно перенервничать и запороть даже самую простую задачку. А на ЕГЭ — каждый балл на счету.Поэтому на своих занятиях я сразу показываю своим ученикам, как правильно оформлять каждое задание в ЕГЭ по математике. Мы разбираем все критерии и учимся правильно отвечать на вопросы. А еще я всегда помогаю ученикам закрыть пробелы в знаниях и объясняю сложные темы столько раз, сколько нужно. И куда же без лайфхаков? Всегда рассказываю лучший способ решения типичных заданий. Так что мои ученики приходят на экзамены подготовленными и не нервничают, когда видят задачу. Хотите также? Приходите ко мне на курсы подготовки к ЕГЭ по математике — научу!

Самостоятельная подготовка

Многие одиннадцатиклассники останавливаются на самостоятельной подготовке к ЕГЭ по информатике. При достаточном знании предмета, системности и настойчивости, используя дополнительные ресурсы, вполне возможно выйти на достойный балл. Такой способ подготовки характерен для школьников, которые не имеют финансовых возможностей на курсы или репетитора, а также для учеников, не стремящихся к максимально высокому результату.

Помочь в освоении материала могут школьные учителя, некоторые из них охотно согласятся поработать со своим учеником дополнительно совершенно бесплатно. Используя документы ФИПИ, печатные пособия и онлайн-ресурсы, правильно спланировав подготовительный процесс, можно рассчитывать не только на получение школьного аттестата, но и на баллы, достаточные для подачи документов в вуз.

Демоверсия, спецификация, кодификатор

Кодификатор состоит из двух разделов. В первом перечислены все элементы содержания, которые будут проверяться в ходе испытания. Следует отметить, что не все вопросы, изучавшиеся в школе, вошли в данный перечень, поэтому рациональнее будет готовиться к ЕГЭ именно по кодификатору.

Во втором разделе перечислены умения и навыки, которыми должен обладать участник ЕГЭ. Сюда входит способность моделировать процессы, интерпретировать их результаты, работать с информацией при помощи различных систем, пользоваться языками программирования, соблюдать технику безопасности и др.

Спецификация дает понимание того, как будет происходить весь процесс сдачи экзамена. Школьник из этого документа узнает актуальную информацию по таким вопросам:

• структура экзаменационной работы, распределение заданий по содержательным разделам и уровню сложности;
• изменения по сравнению с предыдущим годом;
• регламент проведения испытания и разрешенные к использованию дополнительные материалы;
• система оценивания отдельных упражнений и в целом всей работы.

Демоверсия – это третий документ из основного пакета. Он представляет собой демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов. Школьник здесь найдет инструкцию по выполнению работы, необходимые разъяснения, а также версию всех заданий КИМ. Ученик может проверить свои силы, выполнив упражнения, а затем сверить их с правильными ответами, приведенными в конце. Также он увидит, как должна выглядеть запись ответа по каждому из заданий.

Печатные пособия

Для подготовки к ЕГЭ по информатике учащиеся могут воспользоваться актуальными печатными пособиями. Ведущие издательства страны сотрудничают с разными авторами и конкурируют между собой, стараясь как можно раньше представить актуальные учебники. Пройдемся кратко по наиболее популярным изданиям:

• Е.М. Зорина, М.В. Зорин «ЕГЭ-2021. Информатика. Сборник заданий: 350 заданий с ответами»;
• Л.Н. Евич «Информатика и ИКТ. 9-11 классы. Карманный справочник»;
• И.А. Трофимов, О.В. Яровая «ЕГЭ. Информатика. Универсальный справочник»;
• В.Р. Лещинер, С.С. Крылов, А.П. Якушин «ЕГЭ. Информатика. 11 класс. Готовимся к итоговой аттестации».

Кроме того, теоретические материалы можно найти в школьных учебниках за предыдущие годы.

Онлайн-ресурсы

При организации самостоятельной подготовки не стоит забывать и об интернет-ресурсах, которые становятся все более популярными. На них можно найти задания разной сложности, варианты их решения и комментарии, дополнительную полезную информацию, советы школьникам и их родителям.

Назовем несколько сайтов, которые помогут в подготовке к ЕГЭ по информатике в 11 классе:

Советы для школьников

Из полезных и важных требований подготовительного периода нужно выделить 5 пунктов. Во-первых, сразу откажитесь от калькулятора. Считать в уме или в столбик. Во-вторых, убирайте телефон на время домашних занятий. В-третьих, не зацикливайтесь на решении материалов ФИПИ. Задачи со звездочкой в сборниках тоже хорошо готовят к экзамену. В-четвертых, выучите теорему Пифагора, она нужна для 80% задач по планиметрии.

Как готовиться к заданиям повышенной сложности

На каждый из пунктов экзаменационного теста с № 11 по № 19 оставьте по 1−2 занятия (до 2 часов). Пробуйте решать, пользуясь конспектом по теории (он уже должен быть). Не получилось? Берем аналогичные условия упражнения с решением и разбираем до полного понимания. Потом снова решаем. Решать надо много. Без практики на экзамене легко растеряться.

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Какие темы важно знать для ЕГЭ по математике 2022?

В математике, как и в любом предмете, есть опорные темы. Если вы их выучите, будет легче справиться с экзаменом.

Формулы тригонометрии

Очень важно знать формулы тригонометрии и уметь применять их. Хорошая новость: в справочных материалах можно найти несколько тригонометрических формул

Но формул гораздо больше. Я советую не зубрить их, а научиться выводить: приходить к формулам шаг за шагом, опираясь на тождества. Кстати, мы учим выводить формулы на курсах подготовки к ЕГЭ: это полезно, чтобы оказаться на экзамене во всеоружии и ничего не перепутать.

Квадратные уравнения

Эти уравнения мы учимся решать еще в 7 классе. Они встречаются в ЕГЭ по математике постоянно: и как самостоятельные задания, и внутри более сложных уравнений или неравенств. Квадратные уравнения могут встретиться в математических моделях № 8 и № 15, в задачах на геометрию и стереометрию, в задании № 17 с параметром.

Самое главное — хорошо знать универсальные методы решения. Первый — через формулу дискриминанта, второй — через теорему Виета, которая может сэкономить время на экзамене.

Треугольники

Эта замечательная тема, которую проходят в 7 классе — основа основ всей геометрии. Она нужна и для решения стереометрии. и для простейших планиметрических задач. Еще треугольники необходимы, чтобы освоить огромное количество теорем

Выучите все, что с ними связано! Особое внимание обратите на прямоугольные треугольники, которые встречаются чаще остальных — тогда геометрические задачи сразу станут проще

Проценты

Самая нелюбимая тема моих учеников после тригонометрии, которую необходимо хорошо знать. Проценты нужны для реальной математики — это № 8 (с кратким ответом) и № 15 (с развернутым ответом). Понимание этой темы может принести вам 3 первичных балла.

План успешной подготовки к ЕГЭ по математике 2022

Если вы хотите получить больше 80 баллов на ЕГЭ, нужно идеально решать часть с кратким ответом, а также справляться с большинством заданий с развернутым ответом.

Чтобы постепенно прорабатывать материал, воспользуйтесь кодификатором

В нем обратите внимание на таблицу 2, а именно на блоки:

• Алгебра
• Уравнения и неравенства
• Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
• Функции
• Начала математического анализа
• Геометрия

Ориентируйтесь на указанную последовательность, но геометрию изучайте параллельно с остальными блоками — на нее нужно больше времени.

Самое главное — ни в коем случае не ограничивайтесь теорией. Ее у вас не спросят на экзамене, а вот задания решать придется. Поэтому тренируйте практические навыки: актуальные задания вы сможете найти в открытом банке заданий на сайте ФИПИ или в нашем тренажере «Решутест».

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Пример:

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Решение:

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками. $2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

Задания первой части профильного экзамена

Этот блок экзамена охватывает все темы школьной программы и считается простым. Правильно решённая первая часть даёт вам возможность получить 62 балла. 

Задания №1, №2 и №5 содержат несложную текстовую задачу на проценты и округления, чтение графиков и диаграмм, уравнения разных видов.

Задания №3, №6 и №8 — это геометрические задачи. Чтобы их решить, вам нужно хорошо знать теорию и уметь её применять.

Не самые простые задачи вам могут попасться в задании №4, так как они на тему теории вероятностей и требуют проработки. Для того чтобы справиться с заданием №7, вам нужно помнить геометрический и физический смысл производной. 

Задания №9, №10 и №11 требуют от вас умения вычислять и преобразовывать числовые и буквенные выражения, а также решать задачи на движение и работу, сплавы и смеси. 

Задание №12 представляет собой исследование функции и проверяет ваш навык поиска наибольшего и наименьшего значения как с помощью производной, так и без неё.

Ответы на эти задачи должны быть записаны в виде целого числа или конечной десятичной дроби. 

Принцип 1. «Заложите крепкий фундамент»

Бесконечно жаль тратить время и так очень коротких занятий на отработку простейших, элементарных навыков, но именно они — залог будущего успеха ваших учеников! Парадокс состоит в том, что чем больше времени мы потратим на освоение базового набора знаний, тем больше мы его впоследствии сэкономим при решении более сложных заданий. Например, я всегда очень долго и кропотливо учу ребят решать элементарные тригонометрические уравнения, доводя их навыки до автоматизма. Но как только этот с материал станет понятнее, чем дважды два, мы с фантастической скоростью разбираем методы решения более сложных задач. И здесь открывается настоящий простор для экономии времени, как за счет скорости работы с простейшими заданиями, которые всегда встречаются «внутри» сложных, так и за счет возможности разбирать исключительно методы, оставляя их техническую реализацию на дом. 

У данного принципа есть и еще одна положительная черта: ребята не только набивают руку, но и приобретают уверенность в себе, своих знаниях и силах, перестают считать себя гуманитариями и начинают действительно понимать предмет. 

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Дробно рациональные уравнения

• Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.

Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения

PĀRTA

Сайт:; https://vk.comСтоимость: пробный урок — бесплатно, от 2990 р./мес.

Немного о Парте:

• В 2020 году 1 стобалльница, более 23 ребят сдали на 90+, более 200 выпускников сдали экзамен на 80+ (и это только по математике)
• Бесплатный вебинар каждое воскресенье (упор на практику по заданиям прошлых лет)
• Сотрудничаем с экспертом проверяющей комиссии ЕГЭ по математике
• Объясняем сложное простым языком

Обучение в формате мастер-группы:

• 16 занятий в месяц по 1,5-2 часа
• Домашняя работа с проверкой в режиме реального времени и детальным разбором ошибок
• Личный ментор
• Беседа с учениками по всей России
• Входной тест, чтобы определить текущий уровень
• Скрипты и конспекты для усвоения темы
• Авторские документы от преподавателей

Тарифы:

• ЛАЙТ: включает все то, что вы прочли в описании мастер-группы
• МЕДИУМ: тариф Лайт + Вебинар с экспертом ЕГЭ, курс экстра-повторение, зачёт и пробник
• ХАРД: тариф Медиум + Банк заданий, секретный канал с твоим преподавателем в Telegram, система жизней

Виды заданий

В 2020 году госэкзамен содержит 19 заданий, которые делятся на два типа. Во-первых, это простые тесты, в которых надо выбрать правильный ответ. Его несложно увидеть на графике. Иногда нужно воспользоваться логикой.

Во-вторых, текстовые задачи. У них есть свои подклассы — вопросы, в которых достаточно расписать по всем правилам ход решения, дать ответ, и упражнения, где нужны не только примеры, но и строгое обоснование (теория, речь о № 18 и 19).

Важные моменты

Текстовых задач многие боятся. На самом же деле они такими уж страшными не являются для их решения нужно:

• вчитаться в суть условия и понять, что хочет видеть в ответе разработчик (80% успеха);
• применять алгоритм (не заученный порядок формул, а именно порядок рассуждений).

Сложность заключается в том, что некоторые учителя еще во время учебного года разбирают текстовые упражнения с учениками, давая готовое решение. Школьники, не особо вдаваясь в рассуждения о том, откуда что берется, заучивают формулировки и формулы. Этого делать не нужно, так легко запутаться. Создателям достаточно будет ввести в условие задачи незначительное изменение, чтобы весь заученный материал оказался бесполезным.

Где чаще всего совершают ошибки

Эксперты отмечают нередкие ошибки в первой части (которая решается элементарно). То ли в спешке, то ли из-за нервов, но ученики пишут скорость не того пешехода, путают плюс и минус. Поэтому привычка постоянно себя перепроверять может спасти вам десятки баллов.

Если идти по списку сложных вопросов, то:

• в № 11 следует внимательно читать условие и не путаться в единицах измерения;
• № 13 и 15 -знать формулы наизусть (первая неделя — учим, последняя — повторяем);
• № 14, 16 — не забудьте составить чертеж, он часто нужен по условию и нередко помогает проверять себя на правильность рассуждений;
• № 17 — применяем алгоритм, а не готовый порядок решения;
• № 19 — к ходу рассуждений добавляем теоретическое обоснование.

«Умскул»

Сайт: https://umschool.net; https://vk.comТелефон: 8 (800) 444-37-50Стоимость: бесплатные пробные занятия, от 3090 р./мес.

Готовят к ЕГЭ по профильной и базовой математике на высокие баллы в режиме онлайн. Объясняют до тех пор, пока не станет понятно.

• Более 2 тыс. положительных отзывов
• Подготовили 10 стобалльников
• 500 учеников написали профиль на 90+ баллов и 2000 учеников на 80+
• Бесплатные онлайн-занятия каждую неделю

Занятия проходят в формате онлайн-трансляций: 12 вебинаров в месяц по 2-2,5 часа.

Преподаватели используют авторские методики подготовки, которые опробованы на тысячах учеников. Каждое домашнее задание проверяется и дается обратная связь. К урокам выдаются рабочие тетради.

Чтобы процесс подготовки был еще эффективнее, предусмотрены:

• Подсказки при решении заданий на платформе
• Конспекты занятий
• Баллы за Д/З, которые можно обменять на призы и скидки
• Ежемесячные пробные варианты ЕГЭ для практики на реальных примерах
• Индивидуальные ДЗ по темам, которые вам нужно закрепить
• Зачеты и проверки через звонки в WhatsApp (тарифы PRO и HARD)

Принцип 3 «Много практики»

Вопрос с закреплением новых знаний на практике стоит в школе очень остро. Сложные задачи с развернутыми решением, как правило, требуют много времени. Если класс не профильный, то качественно проработать большой объем материала «от и до» за занятие практически нереально. На мой взгляд, неплохой выход из этой ситуации состоит в том, что мы математически грамотно и аккуратно расписываем образец выполнения одного прототипа задания, а затем, уже более бегло, прогоняем метод на 5-10 аналогичных примерах.

Такой подход, кроме экономии времени, позволяет ученикам сконцентрировать все внимание на методе решения и особенностях данного задания, не отвлекаясь на уже знакомые и отработанные действия. Количество заданий, прорешенных за урок, существенно увеличивается

После такой интенсивной работы ученики «привыкают» к данному типу задач, страх перед ними, как перед чем-то новым и неизвестным пропадает.

Самостоятельная подготовка к экзамену

К экзамену можно подготовиться самостоятельно с помощью методических пособий и интернет-источников. Мы составили список самого главного.

Методические пособия

Внимание: в некоторых пособиях осталась старая нумерация заданий: рекомендуются именно эти, так как новые ещё не выпустили

1. Ященко И. В. ЕГЭ-2022. ФИПИ. Математика. Типовые варианты экзаменационных заданий. 14 вариантов. Профильный уровень / И. В. Ященко . — М.: Экзамен, МЦНМО, 2022.
2. Ященко И. В. ЕГЭ-2022. ФИПИ. Математика. Типовые варианты экзаменационных заданий. 14 вариантов. Базовый уровень / И. В. Ященко . — М.: Экзамен, МЦНМО, 2022.
3. Вольфсон Г. И. ЕГЭ-2021. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19. Профильный уровень / Г. И. Вольфсон . — М.: МЦНМО, 2020.
4. Гордин Р. К. ЕГЭ-2021. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14. Профильный уровень. — М.: МЦНМО, 2021.
5. Гордин Р. К. ЕГЭ-2021. Математика. Решение задачи 16. Профильный уровень. — М.: МЦНМО, 2021.
6. Шестаков, С. А. ЕГЭ-2021. Задача с экономическим содержанием. Профильный уровень. — М.: МЦНМО, 2021.
7. Шестаков С. А. ЕГЭ-2021. Математика. Задачи с параметром. Задача 18. Профильный уровень. — М.: МЦНМО, 2021.
8. Шестаков С. А. ЕГЭ-2021. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15. Профильный уровень / С. А. Шестаков, П. И. Захаров. — М.: МЦНМО, 2021.
9. Шестаков С. А. ЕГЭ-2021. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13. Профильный уровень / С. А. Шестаков, П. И. Захаров. — М.: МЦНМО, 2021.

Интернет-источники

• «Рособрнадзор» — официальный ютьюб-канал Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки, в котором публикуются видеоконсультации по подготовке к ЕГЭ.
• Теория по математике в Фоксфорд.Учебнике, раздел Математика, к некоторым темам прилагаются видео с объяснениями.
• Сайт Федерального института педагогических измерений — открытый банк заданий по всем предметам, демоверсии ЕГЭ и правила заполнения бланков в 2022 году.
• Утверждённые демоверсии ЕГЭ-2022 (базовый и профильный уровни).
• Сайт Бориса Трушина.

Ютьюб-каналы с разбором заданий

• Канал Бориса Трушина;
• «ЕГЭ Базовый уровень. Математика с нуля!»;
• «Школа Пифагора ЕГЭ по математике»;
• «Математик МГУ»;
• «Школково ЕГЭ, ОГЭ, олимпиады».

TutorOnline

Сайт: https://www.tutoronline.ruСтоимость: первый урок — бесплатно, 1390 р./месяц

Курс онлайн-подготовки к ЕГЭ по математике повторяет структуру экзамена, содержит все задания, с которыми вы можете столкнуться при сдаче ЕГЭ.

В программе:

• 27 занятий по 2 академических часа
• Занятия в прямом эфире
• Чат с преподавателем
• Просмотр прошедших занятий в записи

Вместе с преподавателем вы:

• Изучите всю школьную программу и закрепите её на практике
• Разберёте самые сложные и запутанные задания
• Рассмотрите часто допускаемые ошибки
• Проверите себя разбором тестов

Вас ждёт не только занятие, но и домашняя работа, которую составляет лично преподаватель курса. Учащийся выполняет специально подготовленные задания в формате экзаменов, и сразу же получает подробные ответы и решения в видеоразборе домашнего задания.

Вы можете сделать упор именно на те темы, которые даются сложнее всего, и задать все волнующие вопросы преподавателю прямо во время занятия.